Question

6．點P為棱長是2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內切球O球面上的動點，點M為B₁C₁的中點，若滿足DP⊥BM，則動點P的軌跡的長度為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}π}}{5}$
• B． $\frac{{2\sqrt{5}π}}{5}$
• C． $\frac{{4\sqrt{5}π}}{5}$
• D． $\frac{{8\sqrt{5}π}}{5}$

Answer 1

分析 直線DP在過點D且與BM垂直的平面內．又點P在內接球的球面上，故點P的軌跡是正方體的內切球與過D且與BM垂直的平面相交得到的小圓，即可得出結論．

解答 解：設BB₁的中點N，CN為DP在平面B₁C₁CB中的射影，直線DP在過點D且與BM垂直的平面內．又點P在內接球的球面上，故點P的軌跡是正方體的內切球與過D且與BM垂直的平面相交得到的小圓，即點P的軌跡為過D，C，N的平面與內切球的交線．由等面積$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×h=\frac{1}{2}×1×1$，求得點O到此平面的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，截得小圓的半徑為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，所以以點P的軌跡的長度為$\frac{{4\sqrt{5}π}}{5}$．
故選C．

點評 本題考查了學生的空間想象力，求出點P的軌跡是關鍵，屬于中檔題．