Question

11．已知A是射線x+y=0（x≤0）上的動點，B是x軸正半軸的動點，若直線AB與圓x²+y²=1相切，則|AB|的最小值是$2+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設A（-a，a），B（b，0）（a，b＞0），利用直線AB與圓x²+y²=1相切，結合基本不等式，得到$ab≥2+2\sqrt{2}$，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：設A（-a，a），B（b，0）（a，b＞0），則直線AB的方程是ax+（a+b）y-ab=0．
因為直線AB與圓x²+y²=1相切，所以$d=\frac{ab}{{\sqrt{{a^2}+{{（a+b）}^2}}}}=1$，化簡得2a²+b²+2ab=a²b²，
利用基本不等式得${a^2}{b^2}=2{a^2}+{b^2}+2ab≥2\sqrt{2}ab+2ab$，即$ab≥2+2\sqrt{2}$，
從而得$|AB|=\sqrt{{{（a+b）}^2}+{a^2}}=ab≥2+2\sqrt{2}$，
當$b=\sqrt{2}a$，即$a=\sqrt{2+\sqrt{2}}，b=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$時，|AB|的最小值是$2+2\sqrt{2}$．
故答案為$2+2\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓的切線，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，有難度．