Question

7．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ=120°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）若（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求實數k的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量數量積的定義，求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$ 的值．
（2）利用兩個向量垂直的性質，可得（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=k²•a²-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，由此求得k的值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ=120°，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1•2•cos120°=-1，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{1-2+4}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=k²•${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=k²-4=0，
∴k=±2．

點評 本題主要考查兩個向量數量積的定義，兩個向量垂直的性質，屬于基礎題．