Question

9．已知△ABC中，點A（-2，0），B（2，0），C（x，1）
（i）若∠ACB是直角，則x=$±\sqrt{3}$
（ii）若△ABC是銳角三角形，則x的取值范圍是（-2，-$\sqrt{3}$）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 （i）求出$\overrightarrow{CA}$=（-2-x，-1），$\overrightarrow{CB}$=（2-x，-1），由∠ACB是直角，則$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=0，由此能求出x．
（ii）分別求出$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$，由△ABC是銳角三角形，得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}＞0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}＞0}\\{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}＞0}\end{array}\right.$，由此能求出x的取值范圍．

解答 解：（i）∵△ABC中，點A（-2，0），B（2，0），C（x，1），
∴$\overrightarrow{CA}$=（-2-x，-1），$\overrightarrow{CB}$=（2-x，-1），
∵∠ACB是直角，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=（-2-x）（2-x）+（-1）（-1）=x²-3=0，
解得x=$±\sqrt{3}$．
（ii）∵△ABC中，點A（-2，0），B（2，0），C（x，1），
∴$\overrightarrow{CA}$=（-2-x，-1），$\overrightarrow{CB}$=（2-x，-1），$\overrightarrow{AC}$=（x+2，1），$\overrightarrow{AB}$=（4，0），$\overrightarrow{BC}$=（x-2，1），$\overrightarrow{BA}$=（-4，0），
∵△ABC是銳角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}={x}^{2}-3＞0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=4（x+2）＞0}\\{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}=-4（x-2）＞0}\end{array}\right.$，解得-2＜x＜-$\sqrt{3}$或x＞2．
∴x的取值范圍是（-2，-$\sqrt{3}$）∪（2，+∞）．
故答案為：$±\sqrt{3}$，（-2，-$\sqrt{3}$）∪（2，+∞）．

點評 本題考查向量的運算，是基礎題，解題時要認真審題，注意平面向量坐標運算法則的合理運用．