Question

7．將（ax²+bx）⁷的展開式按x的次數由大到小的順序排列，首尾兩項的系數之比為128，中間兩項的系數之和為840．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）求（ax²+bx）⁷•x^-10展開式中的常數項．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二項式展開式的通項公式寫出首尾兩項和中間兩項，
根據題意列出方程組，求出a、b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知其展開式中的常數項為（2x+1）⁷的展開式中含x³項的系數，
利用通項公式求出即可．

解答 解：（Ⅰ）（ax²+bx）⁷的展開式的通項為
${T_{r+1}}=C_7^r{（a{x^2}）^{7-r}}{（bx）^r}$，
首尾兩項依次是$C_7^0{（a{x^2}）^7}{（bx）^0}$和$C_7^7{（a{x^2}）^0}{（bx）^7}$，
中間兩項依次是$C_7^3{（a{x^2}）^4}{（bx）^3}$和$C_7^4{（a{x^2}）^3}{（bx）^4}$，
依題知$\left\{\begin{array}{l}{a^7}=128{b^7}\\ 35{a^4}{b^3}+35{a^3}{b^4}=840\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1.\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知（ax²+bx）⁷•x^-10=（2x²+x）⁷•x^-10=（2x+1）⁷•x^-3，
其展開式中的常數項即為（2x+1）⁷的展開式中含x³項的系數，
∵$C_7^4{（2x）^3}=35×8{x^3}=280{x^3}$，
∴（ax²+bx）⁷•x^-10展開式中的常數項為280．

點評 本題考查了二項式展開式通項公式的應用問題，是中檔題．