Question

16．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0上，f（x）=x²-x-1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）先根據f（x）是定義在R上的奇函數，得到f（0）=0，再設x＜0時，則-x＞0，結合題意得到f（x）=-f（-x）進行化簡，進而得到函數的解析式．
（2）利用（1）的結論，即可解不等式．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，
∵當x＞0時，f（x）=x²-x-1，
∴當x＜0時，
f（x）=-f（-x）=-（x²+x-1）=-x²-x+1，
綜上所述，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{z}^{2}-x+1，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{x}^{2}-x-1＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-{x}^{2}-x+1＞1}\end{array}\right.$，
解得x＞2或-1＜x＜0，
∴不等式的解集為{x|x＞2或-1＜x＜0}．

點評 本題考查了借助函數的奇偶性求解函數的解析式，考查學生解不等式的能力，屬于中檔題．