Question

11．己知函數f（x）=e${\;}^{\sqrt{3}x}$•sinx，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]
（1）求f（x）的單調遞增區間
（2）函數g（x）=f′（x）•f（-x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，試求出其最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據三角函數的性質求出函數的遞增區間即可；（2）化簡g（x），根據x的范圍，求出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，從而求出g（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=${e}^{\sqrt{3}x}$（$\sqrt{3}$sinx+cosx）=2${e}^{\sqrt{3}x}$•sin（x+$\frac{π}{6}$），
令f′（x）＞0，綜合考慮x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
可得x∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），
故函數的遞增區間是[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]；
（2）g（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x=cos（2x+$\frac{π}{6}$），
當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
從而x=-$\frac{π}{12}$時取得最大值1．

點評 本題考查了三角函數的性質，考查函數的單調性問題，考查導數的應用，是一道中檔題．