Question

12．四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=$\sqrt{2}$，E，F為PD上兩點，且PF=ED=$\frac{1}{3}$PD．
（1）求證：BF∥面ACE；
（2）求異面直線PC與AE所成角的余弦值；
（3）求二面角P-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC與O，連接OE，可得EO∥BF，進而由線面垂直的判定定理可得：BF∥面ACE；
（2）以A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系數O-xyz，求出直線PC與AE的方向向量，代入夾角公式，可得異面直線PC與AE所成角的余弦值；
（3）求出平面PAC和ACE的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角P-AC-E的余弦值．

解答 證明：（1）連接BD交AC與O，連接OE，

∵PF=ED=$\frac{1}{3}$PD．
∴ED=FE，
∴EO∥BF，
∵EO?面ACE，BF?面ACE；
∴BF∥面ACE；
解：（2）以A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系數O-xyz，

則B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），C（1，1，0），F（0，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
則$\overrightarrow{CP}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
設異面直線PC與AE所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AE}|}{\left|\overrightarrow{CP}\right|•\left|\overrightarrow{AE}\right|}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
（3）設平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}a+b=0\\ \frac{2}{3}b+\frac{1}{3}c=0\end{array}\right.$，
令a=1，則$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
∵DB⊥平面PAC，
∴$\overrightarrow{DB}$=（1，-1，0）即為平面PAC的一個法向量，
故銳二面角P-AC-E的余弦值cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|•\left|\overrightarrow{DB}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查的知識點是線面平行的判定定理，直線與平面的夾角，二面角的平面角，難度中檔．