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12.雙曲線C的中心在原點,右焦點為F($\frac{2\sqrt{3}}{3}$,0),一條漸近線方程為y=$\sqrt{3}$x,
(1)求雙曲線C方程
(2)設直線L:y=kx+1與雙曲線交于A,B兩點,問:當k為何值時,以AB為直徑的圓過原點?

分析 (1)依題意,由其焦點坐標與漸近線方程可求得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,b=1,從而可得雙曲線C的方程;
(2)聯立直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1可得(3-k2)x2-2kx-2=0,設A(x1,y1)、B(x2,y2),依題意,x1x2+y1y2=0,利用韋達定理,繼而可解得k的值.

解答 解:(1)由題意c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,b=1,
∴雙曲線C方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}-{y}^{2}$=1;
(2)由直線L:y=kx+1與雙曲線,聯立得(3-k2)x2-2kx-2=0,
由△>0,且3-k2≠0,得-$\sqrt{6}$<k<$\sqrt{6}$,且k≠±$\sqrt{3}$.
設A(x1,y1)、B(x2,y2),
因為以AB為直徑的圓過原點,所以OA⊥OB,
所以 x1x2+y1y2=0,又x1+x2=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{2}{{k}^{2}-3}$
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
∴k2x1x2+k(x1+x2)+1+x1x2=0,
即k2$\frac{2}{{k}^{2}-3}$+k•($\frac{2k}{3-{k}^{2}}$)+1+$\frac{2}{{k}^{2}-3}$=0,
解得k=±1.

點評 本題考查雙曲線的標準方程和性質,著重考查直線與圓錐曲線的位置關系,突出考查韋達定理的應用,考查轉化思想與綜合運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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