分析 (1)依題意,由其焦點坐標與漸近線方程可求得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,b=1,從而可得雙曲線C的方程;
(2)聯立直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1可得(3-k2)x2-2kx-2=0,設A(x1,y1)、B(x2,y2),依題意,x1x2+y1y2=0,利用韋達定理,繼而可解得k的值.
解答 解:(1)由題意c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,b=1,
∴雙曲線C方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}-{y}^{2}$=1;
(2)由直線L:y=kx+1與雙曲線,聯立得(3-k2)x2-2kx-2=0,
由△>0,且3-k2≠0,得-$\sqrt{6}$<k<$\sqrt{6}$,且k≠±$\sqrt{3}$.
設A(x1,y1)、B(x2,y2),
因為以AB為直徑的圓過原點,所以OA⊥OB,
所以 x1x2+y1y2=0,又x1+x2=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{2}{{k}^{2}-3}$
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
∴k2x1x2+k(x1+x2)+1+x1x2=0,
即k2$\frac{2}{{k}^{2}-3}$+k•($\frac{2k}{3-{k}^{2}}$)+1+$\frac{2}{{k}^{2}-3}$=0,
解得k=±1.
點評 本題考查雙曲線的標準方程和性質,著重考查直線與圓錐曲線的位置關系,突出考查韋達定理的應用,考查轉化思想與綜合運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{π}{2}$ | B. | $\frac{3π}{4}$ | C. | π | D. | 2π |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $1-\frac{π}{8}$ | B. | $\frac{π}{8}$ | C. | $1-\frac{π}{4}$ | D. | $\frac{π}{4}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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