Question

已知函數在點處的切線方程為.

（1）求、的值；

（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：當，且時，.

 

Answer 1

（1），；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件得到兩個條件：一是切線的斜率等于函數在處的導數值，二是切點在切線上也在函數的圖象上，通過切點在切線上求出的值，然后再通過和的值列有關、的二元一次方程組，求出、的值；（2）解法1是利用參數分離法將不等式在區間上恒成立問題轉化為不等式在區間上恒成立，并構造函數，從而轉化為，并利用導數求出函數的最小值，從而求出的取值范圍；解法2是構造新函數，將不等式在區間上恒成立問題轉化為不等式在區間上恒成立問題，等價于利用導數研究函數的單調性，對的取值進行分類討論，通過在不同取值條件下確定函數的單調性求出，圍繞

列不等式求解，從而求出的取值范圍；（3）在（2）的條件下得到，在不等式兩邊為正數的條件下兩邊取倒數得到，然后分別令、、、、，利用累加法以及同向不等式的相加性來證明問題中涉及的不等式.

試題解析：（1），.

直線的斜率為，且過點，

，即解得，；

（2）解法1：由（1）得.

當時，恒成立，即，等價于.

令，則.

令，則.

當時，，函數在上單調遞增，故.

從而，當時，，即函數在上單調遞增，

故.

因此，當時，恒成立，則.

所求的取值范圍是；

解法2：由（1）得.

當時，恒成立，即恒成立.

令，則.

方程（*）的判別式.

（ⅰ）當，即時，則時，，得，

故函數在上單調遞減.

由于，

則當時，，即，與題設矛盾；

（ⅱ）當，即時，則時，.

故函數在上單調遞減，則，符合題意；

（ⅲ）當，即時，方程（*）的兩根為，，

則時，，時，.

故函數在上單調遞增，在上單調遞減，

從而，函數在上的最大值為.

而，

由（ⅱ）知，當時，，

得，從而.

故當時，，符合題意.

綜上所述，的取值范圍是.

（3）由（2）得，當時，，可化為，

又，從而，.

把、、、、分別代入上面不等式，并相加得，

.

考點：1.導數的幾何意義；2.不等式恒成立；3.參數分離法；4.分類討論；5.數列不等式的證明