Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f′′（x）是f′（x）的導數，若方程f′′（x）有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設函數f（x）

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，請你根據這一發現，計算f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：計算題,推理和證明

分析：由題意可推出（

1

2

，1）為f（x）的對稱中心，從而可得f（

1

2015

）+f（

2014

2015

）=2f（

1

2

）=2，從而求f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=2014的值．

解答： 解：f′（x）=x²-x+3，
由f′′（x）=2x-1=0得x₀=

1

2

，
f（x₀）=1，
則（

1

2

，1）為f（x）的對稱中心，由于

1

2015

+

2014

2015

=1，
則f（

1

2015

）+f（

2014

2015

）=2f（

1

2

）=2，
則f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=2014．
故答案為：2014．

點評：本題考查了類比推理的應用，屬于基礎題．