Question

7．下列命題正確的個數為（　　）
①若函數y=f（x）是定義在R上的增函數，且滿足f（1）=0，f（a）+f（b）=f（a+b）-1，那么關于x的不等式f（x²-1）+f（1-x）＞0的解集為{x|x＜-1或x＞2}
②若函數f（x）=（a²-a-2）x²+（a+1）x+2的定義域和值域都為R，則a=2；
③已知函數f（x）=x+a，g（x）=2x+1，若對任意的x₁∈[-1，1]都存在x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂），則0≤a≤2
④已知函數f（x）=x+a，g（x）=2x+1，若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂），則-2≤a≤2．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 首先利用賦值法求出f（2）=1，再利用條件將不等式轉化為f（x²-x）＞f（2），又因為f（x）是增函數，所以x²-x＞2，即可求出不等式的解集，故①正確；
由條件可知a²-a-2=0，解得a=-1，或2，通過檢驗可知a=2，故②正確；
首先分別求出f（x₁）和f（x₂）的值域為A和B，再將條件“對任意的x₁∈[-1，1]都存在x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂）”轉化為“A⊆B”即可求出a的取值范圍為[0，2]，故③正確；
首先分別求出f（x₁）和f（x₂）的值域為A和B，再將條件“存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂）”轉化為“A∩B≠∅”即可求出a的取值范圍為[-2，4]，故④錯誤．

解答 解：對于①：令a=b=1，則2f（1）=f（2）-1，得f（2）=1．
∵f（a）+f（b）=f（a+b）-1，∴f（x²-1）+f（1-x）=f（x²-x）-1=f（x²-x）-f（2），
∴f（x²-x）-f（2）＞0，即f（x²-x）＞f（2），又∵函數y=f（x）是定義在R上的增函數，
∴x²-x＞2，即x²-x-2＞0，解得x＜-1，或x＞2．
故①正確；
對于②：∵函數f（x）=（a²-a-2）x²+（a+1）x+2的定義域和值域都為R，
∴a²-a-2=0，解得a=-1，或2．
當a=-1時，f（x）=2，此時定義域為R，值域為{2}，不符合條件；
當a=2時，f（x）=3x+2，此時定義域和值域都為R，符合條件．
故②正確；
對于③：當x₁∈[-1，1]時，x₁+a∈[a-1，a+1]，
當x₂∈[-1，1]時，2x₂+1∈[-1，3]，
∵對任意的x₁∈[-1，1]都存在x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴[a-1，a+1]⊆[-1，3]
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≤3}\\{a-1≥-1}\end{array}\right.$，得0≤a≤2．
故③正確；
對于④：當x₁∈[-1，1]時，x₁+a∈[a-1，a+1]，
當x₂∈[-1，1]時，2x₂+1∈[-1，3]，
∵存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴[a-1，a+1]∩[-1，3]≠∅
若[a-1，a+1]∩[-1，3]=∅，則a+1＜-1，或a-1＞3，得a＜-2，或a＞4
∴-2≤a≤4．
故④錯誤．
故答案為：B

點評 本題通過命題的真假判斷考查了利用抽象函數的性質解不等式，以及函數的定義域與值域，同時還考查了賦值法和轉化法等數學解題方法，有一定難度，屬于中檔題．