Question

9．已知數列{a_n}是等差數列，其首項為2，且公差為2，若${b_n}={2^{a_n}}$（n∈N^*）．
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）設c_n=a_n+b_n，求數列{c_n}的前n項和A_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等差數列{a_n}的通項a_n=2+（n-1）×2=2n，b_n=2²ⁿ，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{2}^{2（n+1）}}{{2}^{2n}}=4$；
（2）c_n=a_n+b_n=2n+4ⁿ，分組求和即可．

解答 解：（1）證明：因為等差數列{a_n}的首項和公差都為2，
所以a_n=2+（n-1）×2=2n，
又因為b_n=2²ⁿ，
所以$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{2}^{2（n+1）}}{{2}^{2n}}=4$，
所以數列{b_n}是以4為首項和公比的等比數列；             …（8分）
（2）解：因為c_n=a_n+b_n=2n+4ⁿ，
等差數列{a_n}的前n項和s_n=$\frac{2+2n}{2}•n=n（n+1）$，
等比數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}=\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$
所以{c_n}的前n項和A_n=s_n+T_n=n（n+1）+$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$．…（13分）

點評 本題考查了等差數列、等比數列的計算，及分組求和，屬于中檔題．