Question

4．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為$\sqrt{3}$，各面上到A點距離為2的點所圍成的封閉曲線的長度是$\frac{5π}{2}$．

Answer 1

分析 正方體的各個面根據與球心位置關系分成兩類：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為$\frac{π}{6}$，A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為r=1，故各段弧圓心角為$\frac{π}{2}$這條曲線長度為3•$\frac{π}{6}$•2+3•$\frac{π}{2}$?•=$\frac{5π}{2}$．

解答 解：由題意，此問題的實質是以A為球心、2為半徑的球在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個面上交線的長度計算，
正方體的各個面根據與球心位置關系分成兩類：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁為過球心的截面，截痕為大圓弧，

由AB=$\sqrt{3}$，AE=2，cos∠EAB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠DAF=∠EAB=$\frac{π}{6}$，
則∠FAE=$\frac{π}{6}$，
同理可知：各弧圓心角為$\frac{π}{6}$，
A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，
由于截面圓半徑為r=1，故各段弧圓心角為$\frac{π}{2}$
∴這條曲線長度為3•$\frac{π}{6}$•2+3•$\frac{π}{2}$•=$\frac{5π}{2}$，
故答案為：$\frac{5π}{2}$．

點評 本題考查點到直線距離公式的應用，考查空間想象能力，屬于中檔題．