Question

3．已知函數$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的圖象經過點$（{0，\frac{1}{2}}）$，且相鄰兩條對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，則函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區間為[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．

Answer 1

分析 利用函數圖象的性質求出f（x）的解析式，根據正弦函數的單調性得出f（x）的單調減區間．

解答 解：∵f（x）的圖象過點（0，$\frac{1}{2}$），∴sinφ=$\frac{1}{2}$，∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
∵f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．
∴函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區間為[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[0，π]=[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
故答案為：$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$．

點評 本題考查了正弦函數的圖象與性質，屬于中檔題．