Question

6．已知函數f（x）=-alnx+（a+1）x-$\frac{1}{2}$x²（a＞0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）≥-$\frac{1}{2}$x²+ax+b恒成立，求實數ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，通過a=1，0＜a＜1，a＞1的討論，從而求出函數的單調區間；
（2）由題意可得alnx-x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx-x+b，求出導數，確定函數的單調性，可得函數的最值，即可得到結論．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{a}{x}$+a+1-x=-$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，（a＞0，x＞0），
①a=1時，f′（x）=-$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≤0，
∴f（x）在（0，+∞）遞減；
②0＜a＜1時，由f′（x）＞0，解得：a＜x＜1，
∴f（x）在（a，1）遞增，在（0，a），（1，+∞）遞減；
③a＞1時，同理f（x）在（1，a）遞增，在（0，1），（a，+∞）遞減；
（2）∵f（x）≥-$\frac{1}{2}$x²+ax+b恒成立，
∴alnx-x+b≤0恒成立，
令g（x）=alnx-x+b，則g′（x）=$\frac{a-x}{x}$，
∴g（x）在（0，a）上單調遞增，在（a，+∞）上單調遞減．
∴g（x）_max=g（a）=alna-a+b≤0，
∴b≤a-alna，∴ab≤a²-a²lna，
令h（x）=x²-x²lnx（x＞0），則h′（x）=x（1-2lnx）
∴h（x）在（0，$\sqrt{e}$）上單調遞增，在（$\sqrt{e}$，+∞）上單調遞減，
∴h（x）_max=h（$\sqrt{e}$）=e-eln$\sqrt{e}$=$\frac{e}{2}$，
∴ab≤$\frac{e}{2}$．
即ab的最大值為$\frac{e}{2}$．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調區間，考查函數的最值，正確構造函數和分類討論是關鍵，屬于中檔題．