Question

1．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過焦點F且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線與拋物線相交于A，B兩點，若|AB|=8，則拋物線的方程為（　�。�

• A． y²=4x
• B． y²=8x
• C． y²=3x
• D． y²=6x

Answer 1

分析 拋物線的方程可求得焦點坐標(biāo)，進而根據(jù)斜率表示出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立消去y，進而根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用配方法求得|x₁-x₂|，利用弦長公式表示出段AB的長求得p，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意可知過焦點的直線方程為y=$\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）$，
聯(lián)立拋物線方程整理可得3x²-5px+$\frac{3}{4}$p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{25}{9}{p}^{2}-{p}^{2}}$=$\frac{4}{3}$p，
又|AB|=$\sqrt{1+3}•\frac{4}{3}p$=8求得p=3，
∴拋物線的方程為y²=6x．
故選D．

點評 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，兩點間的距離公式的應(yīng)用．解題的時候注意利用好韋達定理，設(shè)而不求，找到解決問題的途徑．