Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點E、F分別為AB和PC的中點，連接EF、BF．
（1）求證：直線EF∥平面PAD；
（2）求三棱錐F-PBE的體積．

Answer 1

分析 （1）取PD中點G，連接FG，AG，由三角形中位線定理可得FG∥DC，FG=$\frac{1}{2}DC$，結合已知可得GF=AE，GF∥AE，則四邊形AEFG為平行四邊形，則EF∥AG，再由線面平行的判定可得直線EF∥平面PAD；
（2）連接DE，解三角形可得DE⊥AB，再由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AB，得到AB⊥平面PDE，有平面PDE⊥平面PAB，過D作DH⊥PE于H，可得DH⊥平面PAB，求解直角三角形得到DH．則C到平面PAB的距離可求，進一步得到F到平面PAB的距離，代入棱錐體積公式可得三棱錐F-PBE的體積．

解答 （1）證明：如圖，取PD中點G，連接FG，AG，
則FG∥DC，FG=$\frac{1}{2}DC$，
∵底面ABCD為菱形，且E為AB中點，
∴GF=AE，GF∥AE，則四邊形AEFG為平行四邊形，
則EF∥AG，
∵EF?平面PAD，AG?平面PAD，則直線EF∥平面PAD；
（2）解：連接DE，∵AD=1，AE=$\frac{1}{2}$，∠DAB=60°，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴AE²+DE²=AD²，即DE⊥AB，
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，則AB⊥平面PDE，有平面PDE⊥平面PAB，
過D作DH⊥PE于H，∴DH⊥平面PAB，
在Rt△PDE中，PD=1，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則PE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴DH=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴C到平面PAB的距離為$\frac{\sqrt{21}}{7}$，則F到平面PAB的距離為$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
∴${V}_{F-PBE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{7}}{2}×\frac{\sqrt{21}}{14}$=$\frac{\sqrt{3}}{24}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．