Question

3．（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$+1）⁷的展開式中x³的系數為（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． -7
• D． 7

Answer 1

分析 化（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$+1）⁷=[1+（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）]⁷，利用展開式通項公式T_r+1，求出（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）^r展開式中x³項的系數即可．

解答 解：（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$+1）⁷=[1+（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）]⁷ 的展開式通項公式為：
T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）^r，
對于（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）^r，通項公式為：
T_m+1=${C}_{r}^{m}$•${（\sqrt{x}）}^{r-m}$•${（-\frac{2}{x}）}^{m}$=（-2）^m•${C}_{r}^{m}$•${x}^{\frac{r-3m}{2}}$，
令$\frac{r-3m}{2}$=3，得r=6+3m；
根據0≤m≤r≤7，r、m為自然數，求得m=0，r=6；
∴（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$+1）⁷展開式中x³項的系數為${C}_{7}^{6}$•（-2）⁰•${C}_{6}^{0}$=7．
故選：D．

點評 本題考查了二項式展開式中通項公式的靈活應用問題，是基礎題．