Question

13．已知數列{na_n}的前n項和為S_n，且a_n=2ⁿ，則使得S_n-na_n+1+50＜0的最小正整數n的值為5．

Answer 1

分析 由已知利用錯位相減法求得數列{na_n}的前n項和為S_n，代入S_n-na_n+1+50＜0，求解不等式得答案．

解答 解：由a_n=2ⁿ，得a_n+1=2ⁿ⁺¹，
na_n=n•2ⁿ，
則${S}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+（n-1）•{2}^{n-1}+n•{2}^{n}$，
∴$2{S}_{n}=1•{2}^{2}+2•{2}^{3}+…+（n-1）•{2}^{n}+n•{2}^{n+1}$，
兩式作差得：$-{S}_{n}=2+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-n•{2}^{n+1}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}={2}^{n+1}-2-n•{2}^{n+1}$，
∴${S}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$，
則由S_n-na_n+1+50＜0，得（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-n•2ⁿ⁺¹+50＜0，
即2ⁿ⁺¹＞52，∴n+1＞5，則n＞4．
∴最小正整數n的值為5．
故答案為：5．

點評 本題考查數列遞推式，考查了錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題．