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8.圓x2+y2+2x-6y+1=0關于直線ax-by+3=0(a>0,b>0)對稱,則$\frac{1}{a}$$+\frac{3}{b}$的最小值是(  )
A.2$\sqrt{3}$B.$\frac{20}{3}$C.4D.$\frac{16}{3}$

分析 求出圓的圓心代入直線方程,然后利用基本不等式求解最值即可.

解答 解:∵圓x2+y2+2x-6y+1=0?(x+1)2+(y-3)2=9,
圓x2+y2+2x-6y+1=0關于直線ax-by+3=0(a>0,b>0)對稱,
∴該直線經過圓心(-1,3),
把圓心(-1,3)代入直線ax-by+3=0(a>0,b>0),得:-a-3b+3=0
∴a+3b=3,a>0,b>0
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$=$\frac{1}{3}$×($\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$)(a+3b)=$\frac{1}{3}$(10+$\frac{3b}{a}$+$\frac{3a}{b}$)≥$\frac{16}{3}$,
當且僅當$\frac{3b}{a}$=$\frac{3a}{b}$時取得最小值,
故選:D.

點評 本題考查代數和的最小值的求法,是中檔題,解題時要注意圓的性質和均值定理的合理運用.

練習冊系列答案
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A.$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$B.$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$
C.$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$D.$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$

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A.3B.4C.8D.$\frac{1}{8}$

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