Question

20．已知P是圓x²+y²=R²上的一個動點，過點P作曲線C的兩條互相垂直的切線，切點分別為M，N，MN的中點為E．若曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），且R²=a²+b²，則點E的軌跡方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$．若曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，且R²=a²-b²，則點E的軌跡方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$
• B． $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$
• C． $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$
• D． $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$

Answer 1

分析 由橢圓與雙曲線的定義中的運算互為逆運算，即可得出結論．

解答 解：由于橢圓與雙曲線的定義中的運算互為逆運算，即加法與減法互為逆運算，
∴猜想雙曲線對應的點E的軌跡方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$，
故選A．

點評 本題考查類比推理，考查學生分析解決問題的能力，正確類比是關鍵．