Question

14．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數，A＞0，ω＞0）．若f（x）在區間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上具有單調性，且f（$\frac{3π}{4}$）=f（$\frac{11π}{12}$）=-f（$\frac{π}{4}$）．則f（x）的最小正周期為$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 f（$\frac{3π}{4}$）=f（$\frac{11π}{12}$）求出函數的一條對稱軸，結合f（x）在區間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上具有單調性，且f（$\frac{3π}{4}$）=-f（$\frac{π}{4}$）．可得函數的一個對稱中心，利用對稱中心與對稱軸距離的最小值為$\frac{1}{4}$周期，則周期可求

解答 解：由f（$\frac{3π}{4}$）=f（$\frac{11π}{12}$）可知函數f（x）的一條對稱軸為x=$\frac{\frac{3π}{4}+\frac{11π}{12}}{2}$=$\frac{5π}{6}$，
又f（$\frac{3π}{4}$）=-f（$\frac{π}{4}$），則f（x）有對稱中心（$\frac{π}{2}$，0），
由于f（x）在區間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上具有單調性，
則$\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}$≤$\frac{1}{2}$T所以T≥π，從而T=4（$\frac{5π}{6}-\frac{π}{2}$）=$\frac{4π}{3}$．
故答案為：$\frac{4π}{3}$．

點評 本題考查f（x）=Asin（ωx+φ）型圖象的形狀，考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力，是中檔題