Question

4．對于曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1，給出下面四個命題：
①曲線C不可能表示橢圓；
②“1＜k＜4”是“曲線C表示橢圓”的充分不必要條件；
③“曲線C表示雙曲線”是“k＜1或k＞4”的必要不充分條件；
④“曲線C表示焦點在x軸上的橢圓”是“1＜k＜$\frac{5}{2}$”的充要條件
其中真命題的個數為（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 根據曲線方程的特點，結合橢圓雙曲線的標準方程分別判斷即可．

解答 解：①當1＜k＜4且k≠2.5時，曲線表示橢圓，所以①錯誤；
②當k=2.5時，4-k=k-1，此時曲線表示圓，所以②錯誤．
③若曲線C表示雙曲線，則（4-k）（k-1）＜0，解得k＞4或k＜1，所以“曲線C表示雙曲線”是“k＜1或k＞4”的充分必要條件，所以③不正確．
④若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{4-k＞0}\\{4-k＞k-1}\end{array}\right.$，解得1＜k＜2.5，所以④正確．
故選B．

點評 本題主要考查圓錐曲線的方程，根據橢圓和雙曲線的標準方程和定義是解決本題的關鍵．