Question

9．已知實數x，y滿足方程（x-3）²+（y-3）²=6，求
（I）$\frac{y}{x}$的最大值與最小值；
（Ⅱ）$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （I）設k=$\frac{y}{x}$，表示圓上點P（x，y）與原點連線的斜率，直線OP的方程為y=kx，當直線OP與圓C相切時，斜率取得最值，點C到直線y=kx的距離d=$\sqrt{6}$，即可得出．
（Ⅱ）$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$的表示圓C上點到頂點（2，0）的距離，圓心（3，3）與定點（2，0）的距離$\sqrt{10}$，又圓C的半徑是$\sqrt{6}$，即可$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$最大值最小值即可得出．

解答 解：（I）設k=$\frac{y}{x}$，表示圓上點P（x，y）與原點連線的斜率，直線OP的方程為y=kx，
當直線OP與圓C相切時，斜率取得最值，
點C到直線y=kx的距離d=$\frac{|3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{6}$，
即k=3±2$\sqrt{2}$時，直線OP與圓C相切，
所以$\frac{y}{x}$的最大值與最小值分別為：3+2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$的表示圓C上點到頂點（2，0）的距離，
圓心（3，3）與定點（2，0）的距離為$\sqrt{（3-2）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
又圓C的半徑是$\sqrt{6}$，
所以$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$最大值最小值分別為：$\sqrt{10}$+$\sqrt{6}$，$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了直線與圓的方程、點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．