Question

【題目】已知函數(shù) ,其中 為自然對數(shù)的底數(shù)).

（1）討論函數(shù)的單調性,并寫出相應的單調區(qū)間；

（2）設,若函數(shù)對任意都成立,求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 當時，增區(qū)間為 ；當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為 ；(2) .

【解析】試題分析：（1）通過函數(shù)，得，然后結合與0的關系對a的正負進行討論即可；（2）對a的正負進行討論：當a<0時， 不可能恒成立；當a=0時，此時ab=0；當a＞0時，由題結合（1）得，設，問題轉化為求的最大值，利用導函數(shù)即可．

試題解析：：（1）由函數(shù)，可知，

時， ，函數(shù)在R上單調遞增；

當時，令，得，

故當時， ，此時單調遞減；

當時， ，此時單調遞增．

綜上所述，當時，函數(shù)在單調遞增區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；

（2）由（1）知，當時，函數(shù)在R上單調遞增且當時， 不可能恒成立；

當a=0時，此時ab=0；

當a>0時，由函數(shù)對任意x∈R都成立，可得，

∵，

設，則，

由于，令，得

時， 單調遞增；

時， 單調遞減．

，即當時，ab的最大值為．