Question

【題目】已知坐標平面上動點與兩個定點， ，且.

（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；

（2）記（1）中軌跡為，過點的直線被所截得的線段長度為8，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1），軌跡是以為圓心，以5為半徑的圓；（2）直線的方程為或.

【解析】試題分析：（1）根據題意，分析可得，對其化簡整理變形可得，由圓的標準方程即可得答案；

（2）分兩種情況討論：①當直線l的斜率不存在，②當直線l的斜率存在時，每種情況下先設出直線的方程，利用直線l被C所截得的線段長度為8，可得關于k的方程，解可得k的值，綜合即可得答案．

試題解析：

（Ⅰ）由題意，得，即： ，

化簡，得： ，

所以點的軌跡方程是.

軌跡是以為圓心，以5為半徑的圓.

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時， ，

此時所截得的線段的長為.

所以符合題意.

當直線的斜率存在時，設的方程為，

即，圓心到的距離，

由題意，得，解得.

所以直線的方程為，

即.綜上，直線的方程為或.