Question

【題目】如圖,在幾何體中，四邊形為矩形，四邊形為梯形, ,平面與平面垂直，且.

（1）求證： 平面；

（2）若,且平面與平面所成銳二面角的余弦值為,求的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)1.

【解析】試題分析：（1）推導出CB⊥BE，從而CB⊥面BDE，進而CB⊥ED，再由ED⊥AD，能證明ED⊥平面ABCD；
（2）以D為坐標原點，DA、DC、DE分別為x，y，z軸建立空間坐標系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則，即，解得，即得

試題解析：

（1)證明：因為平面與平面垂直

且，平面與平面的交線為

所以面，

又面

所以，

在矩形中，

又四邊形為梯形， 所以與相交，

故平面

（2）由（1）知， 垂直， 垂直，又垂直， 平行，所以垂直，如圖，以為坐標原點， 分別為軸建立空間坐標系

又，所以，

設

則

設平面的法向量為

，令，則

所以平面的法向量為

易知，平面的法向量為，

因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則，

即，解得，即