Question

18．若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• B． （-∞，0）
• C． （-∞，e）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，則?x₀∈（0，+∞），不等式a＜$\frac{lnx}{x}$成立，令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則a＜f（x）_max，利用導數法，求出函數的最大值，可得答案．

解答 解：若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，
則?x₀∈（0，+∞），不等式a＜$\frac{lnx}{x}$成立，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則a＜f（x）_max，
∵f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
則x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）=$\frac{lnx}{x}$為增函數，
x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）=$\frac{lnx}{x}$為減函數，
故x=e時，f（x）_max=$\frac{1}{e}$，
故a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{e}$）．
故選：A．

點評 本題考查了存在性問題，注意運用參數分離，利用導數求函數的最值是解題的關鍵，考查運算能力，難度中檔．