Question

【題目】設數列的前n項和為，已知，，，則數列的前2n項和為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，由2Sn＝（1）an+1分析可得2Sn﹣1＝（1）an，兩式相減可得（1）（an+1﹣3an）＝0，變形可得an+1﹣3an＝0，即an+1＝3an，據此分析可得數列{an}是首項為1，公比為3的等比數列，則an＝3n﹣1；進而可得數列{bn}的通項，分析可得b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3，由此分析可得答案．

解：根據題意，數列{an}滿足2Sn＝（1）an+1，①

則有2Sn﹣1＝（1）an，②

①﹣②可得：（1）（an+1﹣3an）＝0，

則有an+1﹣3an＝0，即an+1＝3an，（n≥2）

又由2Sn＝（1）an+1，當n＝1時，a2＝3，a1＝1，

則數列{an}是首項為1，公比為3的等比數列，則an＝3n﹣1；

bn＝（﹣1）n（log3an）2＝（﹣1）n（log3（3n﹣1）]2＝（﹣1）n（n﹣1）2，

則b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3；

數列{bn}的前2n項和T2n＝1+5+9+……+（4n﹣3）2n2﹣n；

故答案為：2n2﹣n．