Question

【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度， 為答對該題的人數， 為參加測試的總人數．現對某校高三年級240名學生進行一次測試，共5道客觀題，測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如表所示：

題號	1	2	3	4	5
考前預估難度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

測試后，從中隨機抽取了20名學生的答題數據進行統計，結果如表：

（Ⅰ）根據題中數據，估計中240名學生中第5題的實測答對人數；

（Ⅱ）從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生，記這2名學生中第5題答對的人數為，求的分布列和數學期望；

（Ⅲ）試題的預估難度和實測難度之間會有偏差．設為第題的實測難度，請用和設計一個統計量，并制定一個標準來判斷本次測試對難度的預估是否合理．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）48（Ⅱ）（Ⅲ）合理

【解析】試題分析：

（Ⅰ）因為20人中答對第5題的人數為4人，因此第5題的實測難度為，

于是可求出240人中實測答對第5題的人數．（Ⅱ） 的可能取值是0,1,2，根據超幾何分布即可求出概率和分布列，進而求出期望；（Ⅲ）將抽樣的20名學生中第題的實測難度，作為240名學生第題的實測難度．定義統計量，其中為第題的預估難度. 并規定：若，則稱本次測試的難度預估合理，否則為不合理． .因為，所以該次測試的難度預估是合理的．

試題解析：

（Ⅰ）因為20人中答對第5題的人數為4人，因此第5題的實測難度為，

所以估計240人中有人實測答對第5題．

（Ⅱ）的可能取值是0,1,2，

； ； ．

的分布列為：

	0	1	2

．

（Ⅲ）將抽樣的20名學生中第題的實測難度，作為240名學生第題的實測難度．　

定義統計量，其中為第題的預估難度. 并規定：若，則稱本次測試的難度預估合理，否則為不合理．　

.

因為，

所以該次測試的難度預估是合理的．