Question

求與橢圓

x2

49

+

y2

24

=1有公共焦點(diǎn)，且一條漸近線為y=

4

3

x的雙曲線的方程．

Answer 1

分析：求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；據(jù)雙曲線的系數(shù)滿足c²=a²+b²；雙曲線的漸近線的方程與系數(shù)的系數(shù)的關(guān)系列出方程組，求出a，b；寫出雙曲線方程．

解答：解：由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

49

+

y2

24

=1可得的兩者公共焦點(diǎn)為（-5，0）和（5，0），（2分）
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，（4分）其漸近線為y=±

b

a

x，（6分）
現(xiàn)已知雙曲線的一條漸近線為y=

4

3

x，得

b

a

=

4

3

，（7分）又雙曲線中a²+b²=5²，（8分）
解得a=3，b=4，（10分）∴雙曲線的方程為

x2

32

-

y2

42

=1（12分）

點(diǎn)評：本題考查利用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程其中橢圓中三系數(shù)的關(guān)系是：a²=b²+c²；雙曲線中系數(shù)的關(guān)系是：c²=a²+b²．