Question

（1）焦點在x軸上的橢圓，短軸上的一個端點與兩個焦點為同一個正三角形的頂點，焦點與橢圓上點的最近距離為

3

，求橢圓標準方程．
（2）已知雙曲線與橢圓

x2

49

+

y2

24

=1公共焦點，且以y=±

4

3

x為漸近線，求雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）由題意得

a=2c a-c= 3

解出即可；
（2）由橢圓

x2

49

+

y2

24

=1得其焦點坐標（±5，0），可得雙曲線焦點在x軸上，且c=5且漸近線方程為y=±

b

a

x，可得

b

a

=

4

3

，
再利用c²=a²+b²，聯立解出即可．

解答：解：（1）由題意得

a=2c a-c= 3

解得

c= 3 a=2 3

，
∴b²=a²-c²=9，
∴橢圓的標準方程為

x2

12

+

y2

9

=1．
（2）由橢圓

x2

49

+

y2

24

=1得其焦點坐標（±5，0），
所以，雙曲線焦點在x軸上，且c=5且漸近線方程為y=±

b

a

x，所以

b

a

=

4

3

，
又c²=a²+b²，所以a=3，b=4，
∴雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=1．

點評：熟練掌握橢圓、雙曲線的標準方程及其性質是解題的關鍵．