Question

15．已知△ABC的頂點B（-5，0），C（5，0），且sinC+sinB=2sinA，則頂點A的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1（y≠0）．

Answer 1

分析 由sinC+sinB=2sinA，可得BA+CA=2BC，利用B（-5，0），C（5，0），CA+BA=20＞CB，符合橢圓定義，所以△ABC的頂點A的軌跡方程可求．

解答 解：∵sinC+sinB=2sinA，
∴由正弦定理可得BA+CA=2BC，
∵B（-5，0），C（5，0），
∴BA+CA=20＞CB，
∴△ABC的頂點A的軌跡是以B、C為焦點，長軸長為20的橢圓（除去與x軸的兩個交點）．
∴a=10，c=5，∴b²=a²-c²=75，
∴△ABC的頂點A的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1（y≠0）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1（y≠0）．

點評 本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．