Question

20．已知命題p：雙曲線$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}$=1的離心率$e∈（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}）$，命題q：方程$\frac{x^2}{2m}+\frac{y^2}{9-m}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的m的范圍，結合“p或q”為真，“p且q”為假，得到p，q一真一假，求出m的范圍即可．

解答 解：∵雙曲線$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}$=1的離心率$e∈（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}）$，
∴a²=5，b²=m，c²=5+m，
∴$\frac{3}{2}$＜$\frac{5+m}{5}$＜2，解得：2.5＜m＜5
故p：2.5＜m＜5，
∵方程$\frac{x^2}{2m}+\frac{y^2}{9-m}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m＞0}\\{9-m＞0}\\{2m＞9-m}\end{array}\right.$，解得：3＜m＜9，
 故q：3＜m＜9，
∵“p或q”為真，“p且q”為假，
∴p真時q為假，即2.5＜m≤3，
p假時q真，即5≤m＜9，
綜上：2.5＜m≤3或5≤m＜9．

點評 本題考查了雙曲線和橢圓的性質，考查符合命題的判斷，是一道中檔題．