Question

9．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦點為F₁，F₂，P是橢圓上一點，M在PF₁上，$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=2$\overrightarrow{MP}$，PO⊥F₂M．則橢圓離心率e的取值范圍是（　　）

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
• B． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀），$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=2$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{O{F}_{1}}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{{F}_{1}P}$，可得$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$（\frac{2{x}_{0}}{3}-\frac{4c}{3}，\frac{2}{3}{y}_{0}）$．由PO⊥F₂M．可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$（\frac{2{x}_{0}}{3}-\frac{4c}{3}）{x}_{0}$+$\frac{2}{3}{y}_{0}^{2}$=0，又${y}_{0}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$，化為：${c}^{2}{x}_{0}^{2}$-2a²cx₀+a²（a²-c²）=0，解出，根據-a＜x₀＜a，即可得出．

解答 解：設P（x₀，y₀），$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=2$\overrightarrow{MP}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{O{F}_{1}}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{{F}_{1}P}$=$（\frac{2{x}_{0}}{3}-\frac{1}{3}c，\frac{2}{3}{y}_{0}）$，
$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$（\frac{2{x}_{0}}{3}-\frac{4c}{3}，\frac{2}{3}{y}_{0}）$．
∵PO⊥F₂M．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$（\frac{2{x}_{0}}{3}-\frac{4c}{3}）{x}_{0}$+$\frac{2}{3}{y}_{0}^{2}$=0，又${y}_{0}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$，
化為：${c}^{2}{x}_{0}^{2}$-2a²cx₀+a²（a²-c²）=0，
解得x₀=$\frac{a（a+c）}{c}$，或x₀=$\frac{a（a-c）}{c}$，
∵-a＜x₀＜a，
∴x₀=$\frac{a（a-c）}{c}$，∴0＜$\frac{a（a-c）}{c}$＜a，
化為：$\frac{1}{2}＜e＜1$．
則橢圓離心率e的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、向量坐標運算性質、向量垂直與數量積的關系、不等式的解法與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．