Question

16．已知函數f（x）=a-$\frac{2}{x}$
（1）若2f（1）=f（2），求a的值；
（2）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=a-$\frac{2}{x}$，分別求出f（1）和f（2），再由2f（1）=f（2），能求出a．
（2）由（1）得f（x）=3-$\frac{2}{x}$在（-∞，0）上單調遞增．利用定義能進行證明．

解答 解：（1）∵f（x）=a-$\frac{2}{x}$，
∴f（1）=a-$\frac{2}{1}$=a-2，f（2）=a-$\frac{2}{2}$=a-1，
∵2f（1）=f（2），2（a-2）=a-1，解得a=3．
（2）由（1）得f（x）=3-$\frac{2}{x}$在（-∞，0）上單調遞增．
證明：任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（3-$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（3-$\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{2}{{x}_{2}}-\frac{2}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
由x₁-x₂＜0，x₁＜0，x₂＜0，
得$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$，
∴f（x₁）＜f（x₂），
因此f（x）為單調增函數．

點評 本題考查實數值的求法，考查函數的單調性的判斷與證明，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．