Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1+a，（ω＞0），任意相鄰兩個對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
（1）求ω的值并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0在$[0，\frac{3π}{4}]$上有兩個不同的實根x₁，x₂，求a的取值范圍和x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的周期，即可求出ω的值，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）求出函數(shù)的值域，利用函數(shù)零點與方程根的關系求解即可．

解答 解：（1）∵任意相鄰兩個對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴周期T=π，---------（1分）
∴$\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，----------------------（2分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z）得：
k$π-\frac{π}{3}$≤x≤k$π+\frac{π}{6}$，（k∈Z）．
所以f（x）的增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]$，k∈Z，------------（4分）
（2）∵x∈$[0，\frac{3π}{4}]$，∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{5π}{3}$-------------------------（5分）
方程f（x）=0即2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+a=0，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-（1+a）．
令y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），y=-（1+a）．
方程f（x）=0的根的個數(shù)也即函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）與y=-（1+a）．
圖象交點的個數(shù)，
由圖象（圖象略）可知，方程有兩個實根需滿足1≤-（1+a）＜2或-2$＜-（1+a）≤-\sqrt{3}$，
所以，-3＜a≤-2或$\sqrt{3}-1≤a＜1$．
即  a的取值范圍是$（-3，-2]∪[\sqrt{3}-1，1）$--------------（10分）．
由圖象（圖象略）可知，x₁+x₂=$\frac{π}{6}×2=\frac{π}{3}$，或x₁+x₂=$\frac{2π}{3}×2=\frac{4π}{3}$．----（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域，函數(shù)的零點與方程根的關系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．