Question

9．已知直角坐標系中x軸正方向是極坐標系的極軸，坐標原點為極點，若曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），曲線C₂：ρ=sinα．
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程．
（2）已知直線l：x+y-8=0，求曲線C₁上的點到直線l的最短距離．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），消去參數，可得普通方程，根據x=ρcosθ，y=ρsinθ，將曲線C₂的極坐標方程化為直角坐標方程即可；
（2）曲線C₁上的點到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）-8|}{\sqrt{2}}$，即可求曲線C₁上的點到直線l的最短距離．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），消去參數，可得普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
曲線C₂：ρ=sinθ，即：ρ²=ρsinθ，直角坐標方程為x²+y²-y=0．
（2）曲線C₁上的點到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴曲線C₁上的點到直線l的最短距離為$\frac{8-\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

點評 本題主要考查了極坐標方程、參數方程及直角坐標方程之間的相互轉化，考查了點到直線的距離的計算，考查了學生的運算求解能力，屬于基礎題．