Question

2．已知函數f（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$．
（1）試比較f（x）與1的大小；
（2）求證：ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 （1）通過構造函數，利用函數的導數，通過函數的單調性以及函數的最值推出結果，
（2）由（1）的結論可得ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{2}{2k+1}$，根據對數的運算性質和迭代法即可得到ln（n+1）=ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{2}{2n+1}$，問題得以證明

解答 解：（1）f（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$的定義域為（0，+∞），
令h（x）=f（x）-1=lnx+$\frac{2}{x+1}$-1，
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）^{2}}$＞0，
∴h（x）在（0，+∞）為增函數，
當x＞1時，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1當0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＞1，
當x=1時，h（x）=h（1）=0，即f（1）=0，
（2）根據（1）的結論，當x＞1時，
lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1，即lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，
令x=$\frac{k+1}{k-1}$，k∈N*，
即ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{\frac{k+1}{k}-1}{\frac{k+1}{k}+1}$=$\frac{2}{2k+1}$，
∴ln（n+1）=ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{2}{2n+1}$，
即ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}（n∈{N^*}）$．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值最值，考查了利用已經證明的結論證明不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．