Question

12．橢圓的兩焦點分別為F₁（-4，0），F₂（4，0），過F₁作弦AB，且△ABF₂的周長為20，則此橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

Answer 1

分析 由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）．根據過F₁作弦AB，且△ABF₂的周長為20，則4a=20，解得a，又c=4，則$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，即可得出．

解答 解：由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）．
∵過F₁作弦AB，且△ABF₂的周長為20，則4a=20，解得a=5，
又c=4，則$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=3．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．