Question

4．已知函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求函數f（x）的單調區間，并比較3ⁿ與π³的大小；
（2）若正實數a滿足對任意x∈（0，+∞）都有ax²f（x）+1≥0，求正實數a的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求導，根據函數的單調性得到f（x）在（e，+∞）遞減，即可得到（3）＞f（π），代入化簡，整理即可證明，
（2）分離參數，構造函數，根據導數和函數的最值的關系求出答案即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得：0＜x＜e；由f′（x）＜0得：x＞e，
∴f（x）的遞增區間為（0，e），遞減區間為（e，+∞），
∵f（x）在（e，+∞）遞減，
∴f（3）＞f（π），
∴$\frac{ln3}{3}$＞$\frac{lnπ}{π}$，
∴πln3＞3lnπ，
∴ln3^π＞lnπ³，
∴3^π＞π³，
（2）由ax²f（x）+1≥0，
∵a＞0，
∴-$\frac{1}{a}$≤xlnx．
令g（x）=xlnx，
則g′（x）=lnx+1，
由g′（x）＞0得：x＞$\frac{1}{e}$；由g′（x）＜0得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴g（x）在區間（0，$\frac{1}{e}$）上遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上遞增，
∴g（x）取得最小值為g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
∴-$\frac{1}{a}$≤-$\frac{1}{e}$，
∴a≤e
∴正實數a的最大值為e

點評 本題考查了導數和函數的單調性和最值的關系，以及函數單調性的應用和和函數恒成立的問題，屬于中檔題．