Question

已知點P是雙曲線上

x2

16

-

y2

9

=1除頂點外的任意一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左右焦點，若△PF₁F₂內(nèi)切圓與F₁F₂切于點M，則|F₁M|•|F₂M|=

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先，根據(jù)圖象和圓切線長定理可知：|F₁M|=|F₁S|，|F₂M|=|F₂T|，|PS|=|PT|后根據(jù)雙曲線的定義分P在圖象的右支和左支可得|F₁M|-|F₂M|=±2a，與|F₁M|+|MF₂|=|F₁F₂|=2c聯(lián)立即可求出|F₁M|和|MF₂|，|F₁M|與|F₂M|的積再根據(jù)雙曲線的基本性質c²-a²=b²化簡得到值．

解答： 解：根據(jù)從圓外一點向圓所引的兩條切線長相等可知：
|F₁M|=|F₁S|，|F₂M|=|F₂T|，|PS|=|PT|，
①當P在雙曲線圖象的右支時，而根據(jù)雙曲線的定義可知：
|F₁M|-|F₂M|=|F₁P|-|F₂P|=2a①；
而|F₁M|+|MF₂|=|F₁F₂|=2c②，
聯(lián)立①②解得：|F₁M|=a+c，|F₂M|=c-a，
∴|F₁M|•|F₂M|=（a+c）（c-a）=c²-a²=b²；
②當P在雙曲線圖象的左支時，而根據(jù)雙曲線的定義可知
|F₂M|-|F₁M|=|F₂P|-|F₁P|=2a③；
而|F₁M|+|MF₂|=|F₁F₂|=2c④，
聯(lián)立③④解得：|F₂M|=a+c，|F₁M|=c-a，
∴|F₁M|•|F₂M|=（a+c）（c-a）=c²-a²=b²．
綜上，可得|F₁M|•|F₂M|=b²．
故答案為：b²．

點評：本題重點考查了雙曲線的標準方程、雙曲線的焦半徑公式、雙曲線的定義和基本性質等知識，屬于中檔題．