Question

如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AD=

3

，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（1）證明：CM∥平面DFB；
（2）求直線DM與平面ABCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）直接利用線線平行轉(zhuǎn)化成線面平行．
（2）利用已知條件先求出相關(guān)的線段的長，進(jìn)一步做出線面的夾角，再求出夾角的正弦值．

解答： （1）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF，
已知矩形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
在矩形ACEF中，所以：CM∥OF，
OF?平面DFB，
CM?平面DFB，
所以：CM∥平面DFB．
（2）解：矩形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AD=

3

，AF=1，
M是線段EF的中點(diǎn)．
所以：BD²=AD²+AB²，
解得：BD=

5

，
所以：DO=

5

2

，
OM∥AF，
OM⊥AC，
所以：OM⊥平面ABCD，
OM=1，
所以tan∠MDO=

MO

OD

=

2 5

5

，
sin∠MDO=

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：線面平行的判定定理，面面垂直的性質(zhì)，線面的夾角的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．