Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，若g（x）=f（x+1）+5，g（x）=f（x+1）+5，g′（x）為g（x）的導函數，對?x∈R，總有g′（x）＞2x，則g（x）＜x²+4的解集為（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（-∞，1）
• C、R
• D、（-1，+∞）

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數的圖象的平移得到g（x）=f（x+1）+5的圖象的特點，有g′（x）＞2x知g（x）＜x²+4的單調性，可求得．

解答： 解：因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，
所以函數f（x）關于原點對稱，
又g（x）=f（x+1）+5，
故g（x）的圖象關于點（-1，5）對稱，
令h（x）=g（x）-x²-4，
∴h′（x）=g′（x）-2x，
∵對?x∈R，g′（x）＞2x，
∴h（x）在R上是增函數，
又h（-1）=g（-1）-（-1）²-4=0，
∴g（x）＜x²+4的解集是（-∞，-1）．
故選A．

點評：本題考查抽象函數的圖象間的平移，奇函數的性質，導數的應用，屬于中檔題．