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如圖,四面體ABCD中,DA=DB=DC=1,且DA、DB、DC兩兩互相垂直,在該四面體表面上與點A距離是
2
3
3
的點形成一條曲線,這條曲線的長度是
 
考點:多面體和旋轉體表面上的最短距離問題
專題:空間位置關系與距離
分析:先求出DG,DH的長,利用直角三角形的邊角關系求出∠DAp4,∠DAp1,得到∠DAP4=∠BAP1,弧長公式求得
P3P4
=
P1P2
,以及
P3P4
P1P2
的大小,
這條曲線的長度是各個弧長.
解答: 解:如圖勾股定理求出DP4=
12
9
-1
=
3
3
=DP1
tan∠DAP4=
DC
DA
=
3
3

∴∠DAP4=
π
6
=∠DAP1
∴∠CAP4=∠P1AB=
π
4
-
π
6
=
π
12

∴由弧長公式得
P 3P4
=
P 1P2
=
π
12
×
2
3
3
=
3
π
18

P 4P1
=
P 2P3
=
π
2
×
3
3
=
3
π
6

∴曲線長為
3
π
18
+
3
π
18
+
3
6
+
2
3
3
×
π
3
=
3
π
2

這條曲線的長度是
3
2
π,
故答案為:
3
π
2
點評:本題考查了運用弧長公式求解空間幾何體表面的最短距離問題,屬于中檔題,關鍵是確定弧對應的圓心角,運用公式求解.
練習冊系列答案
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已知點P是雙曲線上
x2
16
-
y2
9
=1除頂點外的任意一點,F1,F2分別為左右焦點,若△PF1F2內切圓與F1F2切于點M,則|F1M|•|F2M|=
 

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3
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1
x
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)的值為
 

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C、n-1D、2n-1

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