Question

已知拋物線y²=4x，直線l：y=kx+2（k＞0）與拋物線C交于M、N兩點，與x軸交于點A，H 為MN的中點，O為坐標原點．
（1）判斷直線OH與直線2x-y-2

3

=0是否平行，并說明理由；
（2）設點Q在x軸上，記以QM、QN為鄰邊的棱形面積為S₁，三角形AHQ的面積為S₂，

S1

(2-k)S2

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點H（x₀，y₀）．把直線與拋物線方程聯立化為k²x²+（4k-4）x+4=0，由于△＞0，可得0＜k＜

1

2

．利用中點坐標公式可得H坐標，k_OH=

k

1-k

，利用k_OH=2解出并判定即可得出．
（2）由（1）可得H(

2-2k

k2

，

2

k

)，利用弦長公式可得|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 (1+k2)(1-2k)

k2

．利用菱形的性質可得QH⊥l．可得直線QH的方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-2k

k2

)，可得Q(

2k2-2k+2

k2

，0)．利用點到直線的距離公式可得|QH|=

2 1+k2

k

．S₁=|MN|•|QH|=

8(1+k2) 1-2k

k3

．S₂=

1

2

|QA|•y_H．即可得出

S1

(2-k)S2

=

4 1-2k

2-k

=f（k）.0＜k＜

1

2

．利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點H（x₀，y₀）．
聯立

y=kx+2 y2=4x

，化為k²x²+（4k-4）x+4=0，
△＞0，16（k-1）²-16k²＞0，解得0＜k＜

1

2

．
x₁+x₂=

4-4k

k2

=2x₀，
∴x₀=

2-2k

k2

，y0=

k(2-2k)

k2

+2=

2

k

，
∴k_OH=

k

1-k

，
當

k

1-k

=2，解得k=

2

3

，不滿足△＞0，
因此直線OH與直線2x-y-2

3

=0不平行．
（2）由（1）可得H(

2-2k

k2

，

2

k

)，
|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 16(1-k)2 k4 -4× 4 k ]

=

4 (1+k2)(1-2k)

k2

．
∵點Q是菱形的一個頂點，∴QH⊥l．
∴kQH=-

1

k

．
∴直線QH的方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-2k

k2

)，
令y=0，可得x=

2k2-2k+2

k2

．
∴Q(

2k2-2k+2

k2

，0)．
∴|QH|=

| 2k2-2k+2 k +2|

1+k2

=

2 1+k2

k

．
∴S₁=|MN|•|QH|=

8(1+k2) 1-2k

k3

．
|QA|=

2k2+2

k2

．
∴S₂=

1

2

|QA|•y_H=

1

2

×

2k2+2

k2

×

2

k

=

2k2+2

k3

．
∴

S1

(2-k)S2

=

4 1-2k

2-k

=f（k）.0＜k＜

1

2

．
∴f′（k）=

-4(1+k)

1-2k (2-k)2

＜0．
∴函數f（k）單調遞減，∴f(

1

2

)＜f(k)＜f(0)，
∴0＜f（k）＜2．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、菱形的面積計算公式，考查了利用導數研究函數的單調性極值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．