Question

已知關于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率．記分別以m，n為橫、縱坐標的點A（m，n）表示的平面區域D．若函數y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區域D內的點，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：根據關于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率，可得方程x²+mx+m+n=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞），從而可確定平面區域為D，進而利用函數y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區域D上的點，可求實數a的取值范圍．

解答： 解：構造函數f（x）=x²+mx+m+n
∵關于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率
∴方程x²+mx+m+n=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞）
∴f（0）＞0，f（1）＜0，∴

m+n＞0 1+2m+n＜0

∵直線m+n=0，1+2m+n=0的交點坐標為（-1，1）
∴要使函數y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區域D上的點，則必須滿足1＜log_a（-1+4）
∴log_a3＞1=log_aa，
∵a＞1
∴1＜a＜3
故答案為：（1，3）．

點評：本題以方程根為載體，考查橢圓、雙曲線的幾何性質，考查數形結合的數學思想，確定平面區域是解題的關鍵．