Question

已知二次函數r（x）=x²+ax+b（a，b為常數，a∈R，b∈R）的一個零點是-a，函數g（x）=lnx，e是自然對數的底數．設函數f（x）=r（x）-g（x）．
（Ⅰ）過坐標原點O作曲線y=f（x）的切線，證明切點的橫坐標為1；
（Ⅱ）令F（x）=

f(x)

ex

，若函數F（x）在區間（0，1]上是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由題意可得a²+a（-a）+b=0，從而求b=0；再化簡f（x）=x²+ax-lnx，從而求導f′（x）=2x+a-

1

x

，（x＞0），再結合導數的幾何意義求解證明；
（Ⅱ）化簡F（x）=

f(x)

ex

=

x2+ax-lnx

ex

，求導F′（x）=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，再令h（x）=-x²+（2-a）x+a-

1

x

+lnx，從而由導數的正負確定函數的正負，進而確定F′（x）的正負，從而確定F（x）的單調性，從而求解．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵-a是二次函數r（x）=x²+ax+b的一個零點，
∴a²+a（-a）+b=0，
∴b=0．
∴f（x）=r（x）-g（x）=x²+ax-lnx；
∴f′（x）=2x+a-

1

x

，（x＞0），
設切點為P（m，f（m）），
則切線的斜率k=2m+a-

1

m

=

m2+am-lnm

m

，
整理得m²+lnm-1=0，
顯然，m=1是這個方程的解；
又因為y=m²+lnm-1在（0，+∞）上是增函數，
所以方程m²+lnm-1=0有唯一實數解．
故m=1．
（Ⅱ）F（x）=

f(x)

ex

=

x2+ax-lnx

ex

，
F′（x）=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，
設h（x）=-x²+（2-a）x+a-

1

x

+lnx，
則h′（x）=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a．
易知h′（x）在（0，1]上是減函數，
從而h′（x）≥h′（1）=2-a；
（1）當2-a≥0，即a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在區間（0，1]上是增函數．
∴h（x）≤h（1）=0，
即F′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴F（x）在區間（0，1]上是減函數．
所以，a≤2滿足題意．
（2）當2-a＜0，即a＞2時，設函數h′（x）的唯一零點為x₀，
則h（x）在（0，x₀）上遞增，在（x₀，1）上遞減．
又∵h（1）=0；∴h（x₀）＞0；
且當x→0時，h（x）→-∞；
∴h（x）在（0，1）內有唯一一個零點x′，
從而F（x）在（0，x′）遞減，在（x′，1）遞增，
與在區間（0，1]上是單調函數矛盾．
∴a＞2不合題意．
綜合（1）（2）得，a≤2．即a的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查了導數的綜合應用與恒成立問題，同時考查了構造函數確定函數的單調性的方法應用，化簡討論都比較困難，屬于難題．