Question

如圖，四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的棱形，M為棱PC上的動點，且

PM

PC

=λ（λ∈[0，1]）．
（1）求證：△PBC為直角三角形；
（2）試確定λ的值，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值為

2 5

5

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AD中點O，連結(jié)OP，OC，以O(shè)為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明△PBC為直角三角形．
（2）設(shè)M（a，b，c），由

PM

PC

=λ（λ∈[0，1]），得M（

3

λ，0，

3

-

3

λ），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：取AD中點O，連結(jié)OP，OC，
∵側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，
底面ABCD是∠ABC=60°的棱形，
∴△ADC是等邊三角形，PO、AD、CO兩兩垂直，
以O(shè)為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得P（0，0，

3

），C（

3

，0，0），
B（

3

，-2，0），

CB

=（0，-2，0），

CP

=（-

3

，0，

3

），
∴

CB

•

CP

=0，∴CB⊥CP，
∴△PBC為直角三角形．
（2）解：設(shè)M（a，b，c），∵

PM

PC

=λ（λ∈[0，1]），
∴

PM

=λ

PC

，即（a，b，c-

3

）=（

3

λ，0，-

3

λ），∴M（

3

λ，0，

3

-

3

λ），
A（0，-1，0），D（0，1，0），

AD

=（0，2，0），

AM

=（

3

λ，1，

3

-

3

λ），
設(shè)平面AMD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AD =2y=0 n • AM = 3 λx+y+( 3 - 3 λ)z=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，

λ-1

λ

），
由題意平面PAD的法向量

m

=（1，0，0），
∵二面角P-AD-M的平面角余弦值為

2 5

5

．
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

1+( λ-1 λ )2

|=

2 5

5

，
由λ∈[0，1]），解得λ=

1

3

．

點評：本題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．